A középkori és újkori európai látogatók a Nagy Piramisnál a pontatlanabbnál pontatlanabb méreteket közöltek a piramis alapélének hosszáról vagy magasságáról. Az első pontos felmérések csak a 19. század második felében készültek (Piazzi Smyth, Petrie). A piramis alapéle - a burkolókövek mentén - 230,36 méter volt, a piramis függőleges magassága 146,72 m lehetett, ami arra vezette az egyiptológusokat, hogy az egyiptomiak a piramis alapélét 440, míg a magasságát 280 egyiptomi könyöknek (0,523 m) szánták.

Viszont érdekes megvizsgálni, mint mondtak az ókori görög szerzők akik ellátogattak a piramishoz, annak méreteiről. Ne feledjük, hogy ők még a hófehéren ragyogó gúlát láttak, amitől nem volt megfosztva a külső burkolata, amit a középkori arabok egyszerűen levertek.
Az itt látható kép Piazzi Smyth csillagász könyvéből van (1865) és mutatja a piramis lábainál megmaradt néhány burkolókövet, melyek több tíz tonnásak voltak és tükörsimára lettek csiszolva. Ilyen fedte hajdan - a 14. századig! - az egész piramist, mint a rajz felső részén is láthatjuk a Khephrén piramis esetében, melynek csúcsánál megmaradt az eredeti borítás. A régi görögök még ilyen gyönyörűen látták a piramisokat...

Piazzi Smyth piramis illusztráció

Kicsit irigykedve gondolok ezekre a görögökre, hiszen rendszerint értekeztek a piramisról a helyi papokkal: tőlük kaptak információkat a piramis méreteiről. A görögök az egyiptomiaktól származtatták a geometria és a földmérés tudományát. Messze földön híres volt az egyiptomi "láncmérők" tudománya és pontossága. Fennmaradtak szerszámaik, mérőrúdjaik, és a gízai Nagy Piramisnál éppen látható a munka aprólékossága. Nyilvánvalóan valamiféle koncepció alapján tervezték templomaikat vagy a piramisokat. Úgy gondolom, hogy a Nagy Piramis méreteit ők maguk is egy földrajzi, geometriai rendszerbe foglalták, s az odavetődő görögöknek elejtettek erről néhány megjegyzést, amit azok gyanútlanul fel is jegyeztek, mit sem tudva annak jelentőségéről... (Ennek persze semmi köze sem volt Thalész méréséhez, aki a piramis magasságát annak árnyékából számította!)

Tehát mit tudtak a görögök a Nagy Piramis méreteiről?

A római Plinius felsorolja kik írtak előtte az egyiptomi piramisokról: "Hérodotosz, Euhémerosz, szamoszi Dúrisz, Arisztagórasz, Dionüsziosz, Artemidórosz, Alexander Polühisztor, Butoridasz, Antiszthenész, Démétriosz, Démotelész és Apión" (néhányat nem sorol fel, talán mert nem is ismerte, mint Diodórosz, Sztrabón vagy abderai Hekataiosz).

Az első a sorban Hérodotosz, aki i.e. 458 és 430 között járhatott valamikor Egyiptomban. Személyesen ment el a gízai piramisokat megnézni egy tolmács-pap kíséretében. Az egész leírásából most csak ez érdekel: „A piramis alapja négyszög, minden oldala nyolc plethron hosszú, s ugyanekkora a magassága is. Az egész simára csiszolt és jól összeillesztett kövekből épült, amelyek közül egy sem rövidebb harminc lábnál…" (Muraközy Gy. fordításában).

Egy megjegyzés: A "magasságon" az antik utazók –akik ott álltak a piramis hófehér turai mészkő borítású fala előtt- nem a gúla "függőleges magasságát" értették, hanem az oldallapét, vagyis az apotémát!!

Hérodotosz konkrét adatai túlzóak, hiszen 800 lábat (8 plethront= 246 m) ír az alapélre és az apotémára. Viszont John Taylor angol antikvárius, aki tkp. megalapozta az ún. "piramidológiát", az 1859-ben megjelentetett könyvével, odajutott, hogy tkp. nem is a 8 plethronon van a lényeg, mert ennél sokkal fontosabbat akart valójában közölni Hérodotosz. Mert a sorait így kell értelmezni: „Minden oldal területe nyolc plethron, ami megegyezik a magasság négyzetének területével”. Ez a nézete azóta is vitákat vált ki... Viszont Pomponius Mela római földrajztudós beszámolója a Nagy Piramis méreteiről, tovább erősítik, hogy valóban így gondolta Hérodotosz is.

A Nagy Piramis oldallapjának és magasságnégyzetének kapcsolata

Tompkins és Stecchini figyelmeztet rá, hogy a kis eltéréssel a piramis oldalfalainak lejtőszöge talán nem a π-t (pi), hanem a φ-t (fi) jelölte, mert tkp. ezt mondta Taylor.

Ez esetben a lejtőszögnek 51°49’38”-nek kell lennie, ami a φ szögét adná. A φ pedig nem más, mint a matematikusok aranymetszés arányszáma (értéke: 1,618033988…). Aranymetszés teszi lehetővé az egyenesből a görbébe való átjutást, „azaz a földi törvényektől az égi törvényekhez vezet” (Carpentier).

Ez kulcsot jelent – mondja Peter Tompkins - a piramis geometriai és matematikai titkaihoz. Az aranymetszés a Nagy Piramis esetében megadja a valódi módszerét a gömbterület átfordításának egy-egy síkká. Tehát méretekre fordítva: az alapél 440, magasság 280 és az apotéma 356 egyiptomi könyök.

Nagy Piramis alapkörének és magasságának kapcsolata

Ezen utolsó ábrához visz azonban az elképzelés, amit itt elmondtunk. Mert ha a Nagy Piramis ábrázolta a φ-t, akkor a tervező számára a gúla magassága √φ-vel (1,27202) volt egyenlő, ami a piramis keresztmetszetébe rajzolt derékszögű háromszög függőleges befogója. A vízszintes befogó (az alaphossz fele) egy egységnyi hosszú és az átfogó (a gúla apotémája) φ-vel (1,618034) volt egyenlő. Mivel kör területe: r² x π, a gúla magasságával (√φ-vel) rajzolt kör területe= φ x π. A φ-vel szerkesztett gúla oldalszöge 51°49’38,253” lesz. A piramis minden oldala egy félgömb negyedeit képviseli, amit 90°-os gömbkvadránsnak is nevezünk . A gömbkvadráns három éle √φ-vel egyenlő (ezek 90°-os szögben állnak egymással), míg a körnegyedek 2 egységnyi hosszúak (azaz megfelelnek a piramis alapélének hosszával). A gömbkvadráns külső felszínének területe: 2√ φ.

Ehhez a koncepcióhoz pedig éppen Hérodotosz elejtett megjegyzése vitt, amit kísérőjétől, az egyiptomi paptól hallhatott. Viszont az egyik ókori görög utazó egy másik koncepciót is közölt a Nagy Piramis méreteiről, amely a Hérodotoszétól másmilyen tartalmat tulajdonított a piramisnak. De azt sem tudjuk pontosan ki volt ez a görög tudós, hiszen az ókori szerzők, mikor átvették a piramisra vonatkozó adatait, elfelejtették közölni nevét, csak annyi tudható, hogy ott van Plinius listáján...

Az egyiptológus Flinders Petrie a gízai piramisok vizsgálatánál arra az álláspontra jutott, hogy a görög utazók leírásai megérdemlik a figyelmet, mert sokszor pontosabbak a tények közlésében a modern íróknál (1883). Sőt, tovább megyek, Plinius valószínűleg Apión munkáját használta, mely pontos adatokat közölt a piramis belső folyosóiról, külső méreteiről vagy a Szfinx méreteiről. Úgy vélem a hellenisztikus időkre már bizonyosan megtörtént a görög-egyiptomi mérnökök általi felmérése is.

A másik, hogy volt görög tudós, aki az Egyiptomról szóló munkájában leírta a gízai piramisokat abban a szellemben, ahogy a geometriában és geodéziában jártas egyiptomi papok elmondták neki. Az ő adatait közvetve-közvetlenül (tehát: jól-rosszul) átvették későbbi szerzők is, azzal a véleménnyel, hogy az eredeti szerző vitatta Hérodotosz értesüléseit.

Mik voltak a forrás lényeges elemei: a piramis lejtőmagassága (apotémája) nem egészen 6 plethron, azaz 1 stadion vagy 600 görög láb. De azért nem kereken 600 láb, mert a csúcsa hiányzik és egy 6 könyök oldalélű kis teraszban végződik. Az alapéle pedig 750 görög láb, azaz 1 ¼ stadion, és így a kerület kereken öt stadion. Ezek az adatok kihámozhatók Diodórosz, Sztrabón, Plinius, bizantioni Philón, Hyginus feljegyzéseiből. Stecchini azt hitte korábban (1971), hogy az ősforrás Agatharkhidész geográfus lehetett, mivel őt idézte Diodórosz, de tévedett!

Több mint száz éve, 1901-ben Friedrich Wilhelm von Bissing német történész kiadott egy tanulmányt, ami Dodórosz jelentését tanulmányozta a piramisokról (Der Bericht des Diodor über die Pyramiden, 1901). Ez egyben főhajtás az ősi metrológia tudománya előtt is.

Bissing rájött arra, hogy az ókori piramisleírók egy közös forrást kellett használniuk, akit jól-rosszul idézgettek. Úgy gondolta, hogy ez a forrás epheszoszi Artemidórosz geográfus 11 könyves munkája lehetett, amit i.e. 100 körül írt. Azonban nagyon valószínű, hogy Diodórosz a piramisok leírásánál egy jóval régebbi szerzőt, abderai Hekataioszt használta, aki meg i.e. 300 körül írta munkáját, de még ő sem lehetett az első forrás, ez teljesen nyilvánvaló, hisz ő inkább egy etnográfus vagy mitográfus volt, mintsem gyakorlati tudós. Bissing is látta a buktatókat ezért ő is tovább ment, és felvetette, hogy az információ talán visszamegy milétoszi Arisztagóraszhoz, aki i.e. 375 körül tevékenykedett. Később ezt a véleményt fogadta el Stecchini is. Hozzá azért nehéz eljutnunk, mert alig tudunk róla valamit, talán ha egy tucat töredék maradt az Egyiptom történetét tárgyaló legalább két könyvből álló munkájából (és ezek egyike sem említi a piramist, de tudjuk – Pliniustól - hogy írt róla).

Arisztagórasz nem sokkal Platón (i.e. 427) született. Robert Charroux - teljesen függetlenül az itt elmondottaktól - a következő különös megjegyzést teszi a könyvről: „Milétoszi Arisztagórasz az időszámításunk előtt ötödik században két könyvben összeállította a piramisokra vésett feliratok nyomán <<Egyiptom történeté>>-t. Ezt a munkát nem tudjuk már elérni, kétségtelenül elpusztították, mint Szankhuniathón <<Föníciaiak történeté>>-t”. (1967).

Én is azt gondolom, hogy a piramis méreteiről szóló adatok ősforrása Arisztagórasz lehetett, aki évekig élt Egyiptomban és elsőként jött rá, hogy Püthagórasz tételei Egyiptomból származtak. Ő vitatkozott Hérodotosz piramisokra vonatkozó adataival, akit egyedül csak Pomponius Mela geográfus követett.

Stecchini egy későbbi tanulmányában maga is kijelenti: „Minden ókori író, aki adatokat adott meg a piramisról, kivéve Hérodotoszt, bizonyosan milétoszi Arisztagórasz Egyiptom-leírásából származik, körülbelül fél évszázaddal Hérodotosz utánról.

Ezen szövegek egybevetése felfedi, hogy Arisztagórasz milyen adatokat közölt: a piramis alapja 1 1/φ stadion, míg az apotémája egy stadion. A stadiont 600 artabikus lábban számíthatta, ahol egy láb 307,796 mm. Ebből számítva az alapél 230,847 méter (750 láb) . 25 artabikus könyök = 22 egyiptomi királyi könyökkel. A piramis csúcsán lévő terasz kerülete 24 artabikus könyök volt. Arisztagórasz leírásásának sajátossága, hogy kizárta az apotéma számításából a piramis csúcsát.

Stecchini arról ír, hogy az egyiptomiak a 11:7 arányú piramist tartották a legtökéletesebbnek, ahol a 11 a piramis oldalhosza, míg a 7 a magassága. A fi szám pedig kiszámítható 55/89 megközelítéssel. A piramis apotémája 4 x 89= 356 könyök, ugyanakkor a félátló 4 x 55= 220 könyök. Ezt a kalkulációt ismerte Arisztagórasz, kivéve, hogy a királyi könyök átalakítható artabikus lábbá 44 : 75 arány alapján. 352 királyi könyök megfelel 600 artabikus lábnak vagy egy stadionnak.

Tehát a főbb méretek:

1. Az oldal hossza megfelel egy 1/8 fokpercnek és a kerület megfelel 1/2 fokpercnek.

2. Az apotéma 356 könyök.

3. Az apotéma hossza megegyezik 1/10 fokperccel.

4. A piramis egy piramidionban végződött, amit hol belevett a számításokba, hol kihagyta belőle. Az apotéma a piramidionnal 356 könyök és 351,6 könyök (=1 egyiptomi stadion) a piramidion nélkül. A piramidion apotémája 4,4 könyök.

Nagy Piramis piramidion

A stadion megnevezést Artemidórosz kétféle értelemben használta: mint mértékegységet és mint 1/10 fokpercet (a Föld kerületén, amit az ókori tudósok ismertek). Tehát a piramis apotémája megfelel 1/10 percnek, míg az alapéle 1/8 percnek. A probléma megvilágításánál a számításokba bele lehet vonni vagy kizárni a piramis csúcsán lévő piramidiont, melynek oldalmagasságát Agatharkhidész 4 (vagy pontosabban 4,4) könyökre tette. Stecchini szerint a piramis kerületéből bármikor kiszámíthatták a hosszúsági kör fokhosszát az ekvátornál. A piramis jelezte az északi félteke szélességi köreinek leegyszerűsített trigonometriai értékeit. A piramis tehát az északi félgömb egyfajta modellje volt, s a csúcs jelölte az Északi Pólust. [ez és az előző rajzok is, Stechini barátjának, P. Tompkinsnak könyvéből származnak, melynek száz oldalas függelékét Stecchini írta: Secrets of the Great Pyramid, 1971).

A bizonytalanságot persze a következő okozta a magyarázatoknál: ha a piramist az aranymetszés, tehát a φ (fi) szám alapján tervezték, úgy az oldallap lejtőjének 51°49’38”-nek kellett lennie. Ha viszont a π (pi= 3,1415) szám alapján, úgy a lejtőszögnek egészen pontosan 51°51’14,31”-nek kellett lennie, a kettő között az eltérés csak másfél perc! Ha a pi-szám alapján tervezték, úgy négyzetes gúláról beszélhetünk, amelynek tehát a gúla kerületével megegyező kerületű kör sugara azonos lesz a gúla magasságával!

Viszont a pontos megismerés, az építők szándékának alapos elemzésének gátja marad most már örökre, hogy a középkori arab kőfejtők a Nagy Piramis burkolatát kőbányaként használták Kairó város építéséhez a 14. század elejétől, lerombolva magát a csúcsot is... Hisz ilyen kicsi, másfél perces eltérést, a romok állapota alapján már eldönteni nem lehet.

Nagy Piramis város komplexum

Ezért is irigykedem az azon régi görögökre, akik egykor ott állhattak a Nagy Piramis lábainál, láthatták óriási kristályként csillogó oldalait, a tükörsimára csiszolt fehér turai mészkő borítását...